Một thứ tự đơn thức là một thứ tự toàn phần trên các đơn thức sao cho

• với mọi đơn thức u {\displaystyle u} , ta có 1 ≤ u {\displaystyle 1\leq u} và
• với mọi đơn thức u {\displaystyle u} và v {\displaystyle v} với u ≤ v {\displaystyle u\leq v} , ta có u w ≤ v w {\displaystyle uw\leq vw} với mọi đơn thức w {\displaystyle w} .

Một thứ tự đơn thức là một thứ tự tốt. Ta xác định một cách tự nhiên các khái niệm về đơn thức trội, hệ số trội và số hạng trội - ký hiệu là λ ( f ) {\displaystyle \lambda (f)} - của một đa thức f tương ứng với một thứ tự đơn thức.

Ví dụ, thứ tự từ điển là một thứ tự đơn thức.

Cố định một thứ tự đơn thức và một tập con B hữu hạn của K[X1,...,Xn]. Xét quy tắc viết lại trên K[X1,...,Xn] xác định bởi

g → g − t λ ( f ) f {\displaystyle g\quad \to \quad g-{\frac {t}{\lambda (f)}}\;f}

nếu t là một số hạng bậc cao nhất của g chia hết cho λ ( f ) {\displaystyle \lambda (f)} với f ∈ B.

Nếu ta không thể loại bỏ số hạng bậc cao nhất của g (sau khi thử với tất cả các phần tử f ∈ B {\displaystyle f\in B} ), ta thêm nó vào phần dư và ta chuyển đến số hạng bậc thấp hơn.

Quy tắc viết lại → nhất định sẽ kết thúc (do vành là Noether), nhưng nói chung kết quả cuối cùng không phải là duy nhất.

Cơ sở Gröbner

Đặt I là một i-đê-an của K[X1,...,Xn]. Một cơ sở Gröbner, hoặc cơ sở tiêu chuẩn, của I là một tập sinh hữu hạn G của I đáp ứng thêm các thuộc tính tương đương sau.

1. Quy tắc viết lại cho ta một kết quả duy nhất
2. Một đa thức g thuộc về I khi và chỉ khi nó giảm về 0 dưới quy tắc viết lại
3. Với mọi f, g thuộc G, λ ( f ) ∨ λ ( g ) λ ( f ) f − λ ( f ) ∨ λ ( g ) λ ( g ) g {\displaystyle {\frac {\lambda (f)\vee \lambda (g)}{\lambda (f)}}\,f-{\frac {\lambda (f)\vee \lambda (g)}{\lambda (g)}}\,g\quad } giảm về 0 dưới quy tắc viết lại
4. I-đê-an sinh bởi các đơn thức trội của G bằng với i-đê-an sinh bởi các đơn thức trội của I..